普考申論題
115年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
二、若一解析函數（analytic function）f(x)在x = a處展開為泰勒級數（Taylor series），可表示為： f(x) = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + \cdots + c_n(x - a)^n + \cdots 上式中之的c_0, c_1, c_2, c_3, ..., c_n, ...為該泰勒級數之展開係數。請回答下列問題：
二、若一解析函數（analytic function）f(x)在x = a處展開為泰勒級數（Taylor series），可表示為： f(x) = c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3 + \cdots + c_n(x - a)^n + \cdots 上式中之的c_0, c_1, c_2, c_3, ..., c_n, ...為該泰勒級數之展開係數。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請利用尋求待定係數之思路（推導各階係數c_n與函數導數之關係），透過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：（10 分）
c_n = f^{(n)}(a) / n!
c_n = f^{(n)}(a) / n!
思路引導 VIP
本題要求證明泰勒級數係數的由來。思路應為「逐次求導」後「代入展開點」。先將原式代入 $x=a$ 找出 $c_0$；接著對等式兩邊同時微分一次，再代入 $x=a$ 找出 $c_1$；依此類推微分兩次、三次，找出 $c_2$、$c_3$，並觀察其階乘規律，最後歸納到第 $n$ 次微分以證明 $c_n$。
小題 (二)
請寫出馬克勞林級數（Maclaurin series）的形式。（5 分）
思路引導 VIP
這題為送分題，主要是考觀念名詞解釋。馬克勞林級數就是泰勒級數的一種特殊情況，亦即展開點為原點（$x=0$）的泰勒級數。將前一題結果中的 $a$ 用 $0$ 取代即可。
小題 (三)
請推導函數f(x) = ln(1 + x)的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級數的一般項（第n項）表達式（不用考慮該級數的收斂區間）。（10 分）
思路引導 VIP
這是一題應用計算題。需按部就班計算 $f(x) = \ln(1+x)$ 的零階到至少四階導數，並代入 $x=0$，找出導數值的正負號與階乘規律。然後套入馬克勞林級數公式中整理。找出第 $n$ 項的形式時，要注意正負交替的 $(-1)^{n-1}$ 特徵。