高考申論題
115年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
考慮以下微分方程 $\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
考慮以下微分方程 $\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請寫出上述方程的通解（General solutions）。（15 分）
思路引導 VIP
看到題目是常係數非齊次線性微分方程組，首先應求出對應的齊次方程式的特徵值與特徵向量，以獲得齊次通解（Complementary solution）。接著，由於非齊次項為常數向量，且0不是特徵值，可以利用未定係數法，直接假設特解為未知的常數向量，代入原方程組解出各常數，最後相加即為通解。
小題 (二)
令
$v(t) = \frac{1}{\sqrt{x^2(t) + y^2(t)}} \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}$
求出 $v(t)$ 的極限當 $t$ 趨近 $\infty$。（10 分）
$v(t) = \frac{1}{\sqrt{x^2(t) + y^2(t)}} \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}$
求出 $v(t)$ 的極限當 $t$ 趨近 $\infty$。（10 分）
思路引導 VIP
題目要求單位化後的解向量在 $t \to \infty$ 時的極限。分析(一)中求得的通解，$x(t)$ 與 $y(t)$ 皆由 $e^{-4t}$, $e^t$ 及常數項組成。當 $t \to \infty$ 時，$e^{-4t} \to 0$，$e^t \to \infty$。因此，如果 $e^t$ 的係數 $c_2$ 不為零，它將成為主導極限走向的關鍵；若 $c_2=0$，極限則會完全不同，必須分情況討論以體現邏輯嚴密性。