高中學測
115年
數A
第 16 題
坐標平面上，已知二次函數圖形 $\Gamma: y=f(x)$ 的頂點 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，且交 $x$ 軸於點 $A(-\frac{1}{2}, 0), B(\frac{1}{2}, 0)$。將 $\Gamma$ 平移使得平移後圖形的頂點 $Q$ 仍在直線 $y=1+2x$ 上，且亦通過點 $B(\frac{1}{2}, 0)$，此時 $P$、$Q$ 為兩相異點，則 $\overline{PQ} =$ ______。（化為最簡根式）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
首先，請利用二次函數對稱軸必通過對稱點 $A(-\frac{1}{2}, 0)$ 與 $B(\frac{1}{2}, 0)$ 中點的幾何性質，推導出頂點 $P$ 的坐標並求出該二次函數的領導係數；隨後，應用平移前後「圖形全等」之概念，將新頂點 $Q$ 設定在直線 $y = 1 + 2x$ 上，並藉由新圖形通過點 $B$ 的條件解出 $Q$ 的坐標，最後再利用兩點距離公式計算 $\overline{PQ}$。
二次函數平移與頂點
💡 利用對稱性找原頂點，平移不變形，代入點與線解未知數。
- 對稱性找頂點：x 軸截點的中點即為頂點 x 座標。
- 平移守恆性：函數平移後，二次項係數 a 值維持不變。
- 點線關係：頂點在直線上，可設頂點座標為 (h, 1+2h)。
- 代數求點：將通過的點座標代入平移後的函數式求解。
