高中學測
115年
數B
第 15 題
某校健康檢查：全體學生中有近視的占 $\frac{1}{2}$、有蛀牙的占 $\frac{1}{3}$。設 $p$ 為全體學生中無近視且無蛀牙的學生所占比例。將部分資料依所占比例以列聯表呈現如下：
| | 有近視 | 無近視 | 總和 |
|---|---|---|---|
| 有蛀牙 | | | $\frac{1}{3}$ |
| 無蛀牙 | | $p$ | $\frac{2}{3}$ |
| 總和 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 |
已知有近視的學生中，有蛀牙的占少數；有蛀牙的學生中，有近視的占多數。則 $p$ 的範圍為 \_\_\_\_ $< p <$ \_\_\_\_ 。（化為最簡分數）
| | 有近視 | 無近視 | 總和 |
|---|---|---|---|
| 有蛀牙 | | | $\frac{1}{3}$ |
| 無蛀牙 | | $p$ | $\frac{2}{3}$ |
| 總和 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 |
已知有近視的學生中，有蛀牙的占少數；有蛀牙的學生中，有近視的占多數。則 $p$ 的範圍為 \_\_\_\_ $< p <$ \_\_\_\_ 。（化為最簡分數）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
能否先利用列聯表各行列總和固定的特性，將「同時有近視且有蛀牙」的比例用 $p$ 表示？接著思考：題目中的「占少數」與「占多數」分別意指哪兩個條件機率的值大於或小於 $\frac{1}{2}$？這會如何轉化成關於 $p$ 的不等式呢？
列聯表與比例推估
💡 利用列聯表整理各類別比例，將邏輯敘述轉化為不等式求範圍。
- 利用加減法填滿列聯表，以 p 表示各交集比例
- 將「多數、少數」敘述轉為條件機率不等式
- 注意每個空格的機率值皆須介於 0 與 1 之間
- 綜合所有不等式限制，求出變數 p 的重疊範圍
