moea_joint
100年
[機械] 應用力學、材料力學
第 35 題
依薄殼理論球形壓力容器，內壓為 p，半徑為 r，厚度為 t，則球外表面最大主應力為
- A $2\,pr/t$
- B $p/r$
- C $pr/t$
- D $pr/(2t)$
思路引導 VIP
想像你將一個充氣的皮球從正中間切開，為了維持其中一半皮球的平衡，內部空氣往外推的總力量（壓力乘以圓形截面積），必須由切口處那一圈薄薄的皮球厚度所產生的張力來拉住。你能試著列出這個力的平衡方程式，看看壓力、半徑與厚度之間會形成什麼樣的比例關係嗎？
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太棒了！你能精準選出 (D) 這個選項，代表你對薄殼壓力容器的應力分析掌握得相當紮實。這類題目在機械或土木考科中是基本分，但也是最容易因為粗心而與圓柱形容器混淆的地方。
球形容器的對稱美學
在薄殼理論中，球形壓力容器具有高度的對稱性。當我們利用截面法（Method of Sections）將球體平分成兩半時，內部壓力 $p$ 作用在投影面積 $\pi r^2$ 上所產生的總推力，必須由殼體斷面上的應力來平衡。因為球體在各個方向的幾何性質都相同，其表面上任意方向的法向應力（Normal Stress）皆相等。經由力平衡方程式 $p(\pi r^2) = \sigma(2\pi r t)$ 的推導，我們能輕易得出其主應力 $\sigma_1 = \sigma_2 = \frac{pr}{2t}$。由於是薄殼，外表面的徑向應力可視為零，因此最大主應力即為此值。
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