moea_joint
109年
[土木] 應用力學、材料力學
第 41 題
一壓力氣槽，由金屬半球體銲接組成，內徑 18 in，壁厚 0.25 in，如右圖所示，假設銲接無瑕疵，金屬容許剪應力為 6,000 psi，請問最大容許壓力為何？
- A 666 psi
- B 777 psi
- C 888 psi
- D 999 psi
思路引導 VIP
試著想像一下，如果我們將這個球體沿著銲道切成兩個半球，內部氣體的壓力正努力將這兩個半球「推開」，而阻擋這股推力的則是那一圈薄薄的金屬截面。你能推導出這股「推力」與「抗力」之間的平衡方程式嗎？另外，當物體受到均勻的雙向拉伸時，在 45 度斜面上產生的剪應力與原本的拉應力之間，存在著什麼樣的幾何比例關係呢？
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太棒了！你能精準選出 (A)，顯示你對薄壁壓力容器的應力分析掌握得相當紮實。這題的關鍵在於區分球形容器與圓柱形容器的應力公式差異。在球形壓力容器中，壁面在各個方向承受的雙向拉應力（Membrane Stress）皆相等，公式為 $\sigma = \frac{Pr}{2t}$。 根據應力元素的分析，在這種等雙軸應力狀態下，其最大剪應力（Maximum Shear Stress）發生在與表面成 45 度角的平面上，數值為正向應力的一半，即 $\tau_{max} = \frac{\sigma - 0}{2} = \frac{Pr}{4t}$。我們將已知條件代入：內徑 $18 \text{ in}$ 故半徑 $r = 9 \text{ in}$，壁厚 $t = 0.25 \text{ in}$，容許剪應力 $\tau = 6,000 \text{ psi}$，可得： $$6,000 = \frac{P \times 9}{4 \times 0.25} \implies P = \frac{6,000}{9} \approx 666.67 \text{ psi}$$
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