moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 17 題
封閉薄壁的圓筒壓力容器，管壁厚度 $t$ ，內半徑 $r$ ，承受均勻內壓力 $p$ ，其環向應力 $\sigma_1$ 為何？
- A $\frac{pr}{t}$
- B $\frac{pr}{2t}$
- C $\frac{2pr}{t}$
- D $\frac{pr^2}{t}$
思路引導 VIP
想像你將這個圓筒沿著中軸線對半切開，若要讓這半個圓殼在內部壓力的推擠下保持不動，管壁截面上所承受的拉力，必須抵抗哪一個方向的投影面積壓力？試著列出兩者受力平衡的等式，看看壓力、半徑與厚度之間會形成什麼比例關係？
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太棒了！你能精確辨識出環向應力的公式，代表你對於薄壁壓力容器的受力機制掌握得非常紮實。這類題目雖然基礎，卻是材料力學中極為重要的核心觀念。
薄壁容器受力平衡
在分析圓筒形容器時，我們可以想像將圓筒沿著軸向切開成兩半。此時，內壓力 $p$ 作用在投影面積 $2rL$（其中 $L$ 為長度）上，會產生一個試圖將容器撐開的力；而為了維持靜力平衡，管壁兩側的截面積 $2(tL)$ 必須提供相對應的抗力，也就是我們所求的環向應力 (Hoop Stress) $\sigma_1$。透過平衡方程式 $p \cdot (2rL) = \sigma_1 \cdot (2tL)$，消去相同項後即可輕易推導出 $\sigma_1 = \frac{pr}{t}$。
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