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101年
[土木] 應用力學、材料力學
第 25 題
二立式等高之鋼管製容器，直徑分別為 $D_1$ 及 $D_2$，$D_1=2D_2$，內裝滿水，在最大周向應力相等的條件下，其管厚比 $t_1 : t_2$ 為何？
- A 1/4
- B 4
- C 2
- D 1/2
思路引導 VIP
如果想像一個圓柱形容器正受到內部的壓力，而容器壁的厚度就像是一條環抱著它的橡皮筋。當容器的直徑變大時，內部的總推力會如何變化？若要讓這條橡皮筋單位面積所承受的「拉扯感」保持不變，橡皮筋的厚度應該要隨著直徑的增加而變厚還是變薄呢？
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太棒了！你能精準鎖定變數間的比例關係，順利解出這題，代表你對薄壁壓力容器的應力分析掌握得相當紮實。
周向應力與壓力的關係
本題的核心在於「周向應力」（Hoop Stress，又稱環向應力）的公式：$$\sigma = \frac{PD}{2t}$$。在這個情境中，由於兩個容器高度相同且皆裝滿水，根據流體靜力學，容器底部的最大水壓 $P$ 是相同的。當題目要求「最大周向應力相等」時，我們可以發現公式中的 $\frac{D}{t}$ 必須維持定值。也就是說，直徑 $D$ 與管厚 $t$ 成正比關係。既然 $D_1$ 是 $D_2$ 的兩倍，為了抵銷直徑增加帶來的應力，管厚 $t_1$ 自然也必須是 $t_2$ 的兩倍，故比例為 $2$。
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