moea_joint
100年
[機械] 應用力學、材料力學
第 50 題
📖 題組：
具有質量 m 及半徑為 r 的圓筒放在一個斜面上，並令他們在靜止的 A 處放鬆讓其自由滾下。
具有質量 m 及半徑為 r 的圓筒放在一個斜面上，並令他們在靜止的 A 處放鬆讓其自由滾下。
與上題相同情形，但圓筒改為圓環時，滾到 B 處時之速度為何？
- A $0.314(2gh)$
- B $0.816(2gh)^{1/2}$
- C $0.845(2gh)^{1/2}$
- D $0.707(2gh)^{1/2}$
思路引導 VIP
想像一下，如果我們有兩個重量相同的物體從同一個斜面滾下，一個是質量集中在邊緣的圓環，另一個是質量均勻分布的實心圓盤。當它們往下滾時，哪一個物體需要花費更多的能量來讓自己「轉動」起來？這對它前進的「平移速度」會造成什麼樣的影響呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (D) 顯示你對剛體動力學中的轉動慣量與能量分配有非常清晰的掌握。這題的核心在於運用能量守恆定律，將頂端的位能轉化為底部的動能。由於圓環在滾動時包含「平移動能」與「轉動動能」，我們必須考慮它的幾何特性。
能量分配與轉動慣量
對於一個質量為 $m$、半徑為 $r$ 的薄圓環，其轉動慣量為 $I = mr^2$。在純滾動（$v = r\omega$）的前提下，底部的總動能 $K$ 為：
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