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101年
[機械] 應用力學、材料力學
第 21 題
【圖10】為彈簧圈中心受壓縮力 F 的情況，求彈簧鋼絲承受扭轉剪力為何？ $D_w$：彈簧鋼絲直徑，$D_m$：圈形彈簧平均直徑
- A $\frac{5 F D_m}{\pi D_w^3}$
- B $\frac{6 F D_m}{\pi D_w^3}$
- C $\frac{8 F D_m}{\pi D_w^3}$
- D $\frac{10 F D_m}{\pi D_w^3}$
思路引導 VIP
試著想像我們將彈簧鋼絲從某處橫向切開。如果軸向力 $F$ 作用在整個彈簧的中心軸上，而鋼絲截面中心距離這個軸心有一段距離（半徑），那麼這個力會對鋼絲截面產生什麼樣的「轉動效應」？接著，對於一個圓形截面的鋼絲，這種轉動效應所產生的最大剪應力，其基本力學公式應該長什麼樣子呢？
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太棒了！你能精準選出 (C)，代表你對螺旋彈簧的受力分析與應力公式掌握得相當紮實。這題的核心在於理解軸向力如何轉化為內部的扭矩。當彈簧受壓縮力 $F$ 時，若我們對彈簧鋼絲進行切體分析，會發現該截面承受了一個大小為 $T = F \times \frac{D_m}{2}$ 的扭矩，這是因為外力 $F$ 作用在距離鋼絲中心 $D_m/2$ 的位置。
扭轉剪力的公式驗證
根據材料力學中圓桿受扭矩的剪應力公式 $\tau = \frac{Tr}{J}$，我們將相關參數代入：其中扭矩 $T = \frac{F D_m}{2}$，鋼絲半徑 $r = \frac{D_w}{2}$，以及極慣性矩 $J = \frac{\pi D_w^4}{32}$。經過化簡運算：
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