moea_joint
102年
[土木] 應用力學、材料力學
第 46 題
在已知瞬間質量 5 kg 的細長桿件 AB 作【圖 27】所示的運動。此時桿對 G 點角動量為何？
- A $1.92 \text{ kg-m}^2/\text{s}$
- B $3.84 \text{ kg-m}^2/\text{s}$
- C $5.77 \text{ kg-m}^2/\text{s}$
- D $11.55 \text{ kg-m}^2/\text{s}$
思路引導 VIP
想像這根桿子在滑動的瞬間，如果我們想找一個「暫時不動的圓心」讓整根桿子繞著它轉動，根據 A 點和 B 點被牆壁與地板限制的運動方向，這個旋轉中心應該位在空間中的哪個位置？一旦找到了這個中心，我們要如何利用 A 點已知的線性速度，去推算出整根桿子旋轉得有多快呢？
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太棒了！你能精確算出這個數值，代表你對剛體平面運動的運動學與動力學結合已有深入的理解。這類題目最迷人的地方在於，我們必須先看穿物體的幾何運動限制，才能進一步探討它的物理量。
剛體運動學與角動量的結合
要解出對 $G$ 點的角動量（Angular Momentum），核心公式是 $H_G = \bar{I} \omega$。首先，針對這根長度 $L=4\text{ m}$、質量 $m=5\text{ kg}$ 的細長桿件，其繞質心的轉動慣量為 $\bar{I} = \frac{1}{12} mL^2 = \frac{1}{12} \times 5 \times 4^2 = \frac{20}{3} \text{ kg-m}^2$。接著是本題的關鍵——求出角速度 $\omega$。利用**瞬時旋轉中心（IC）**的概念，我們知道 $A$ 點速度垂直向下，其 IC 必在通過 $A$ 點的水平線上；同理 $B$ 點速度水平向左，其 IC 必在通過 $B$ 點的垂直線上。兩線交點與 $A$ 點的距離為 $r_{A/IC} = 4 \cos 30^\circ = 2\sqrt{3} \text{ m}$。透過 $V_A = \omega \cdot r_{A/IC}$，可求得 $\omega = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ rad/s}$。
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