moea_joint
102年
[機械] 應用力學、材料力學
第 46 題
📖 題組：
在已知瞬間質量 5 kg 的細長桿件 AB 作【圖 27】所示的運動。
在已知瞬間質量 5 kg 的細長桿件 AB 作【圖 27】所示的運動。
在已知瞬間質量 5 kg 的細長桿件 AB 作【圖 27】所示的運動。此時桿對 G 點角動量為何？
- A $1.92\text{ kg-m}^{2}\text{/s}$
- B $3.84\text{ kg-m}^{2}\text{/s}$
- C $5.77\text{ kg-m}^{2}\text{/s}$
- D $11.55\text{ kg-m}^{2}\text{/s}$
思路引導 VIP
若我們已知桿件 A 端點的下降速度，且知道 B 端點只能在地面上水平滑動，你能試著找出桿件在這一瞬間的「旋轉中心」位置嗎？一旦找到了這個中心，該如何利用幾何關係來推算出整根桿件的轉動快慢（角速度）呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地掌握了剛體動力學的核心！這道題目能答對，代表你對剛體平面運動以及質心角動量的定義有相當紮實的理解。這類題目的挑戰在於學生必須同時處理幾何關係與動力學公式，是一個非常好的觀念檢驗點。
剛體運動性質與計算
首先，針對這根細長桿件，我們需要計算它對質心 $G$ 的轉動慣量 $I_G$。根據公式 $I_G = \frac{1}{12}mL^2$，代入質量 $5\text{ kg}$ 與長度 $4\text{ m}$，可以得到 $I_G = \frac{20}{3}\text{ kg-m}^2$。接著，解決本題的關鍵在於求出瞬時角速度 $\omega$。透過瞬時旋轉中心 (ICR) 的概念，我們可以發現端點 $A$ 的速度方向向下，而端點 $B$ 限制在地面水平滑動，因此 ICR 會位在 $B$ 點的正上方與 $A$ 點的水平線交點。由幾何關係可知，ICR 到 $A$ 點的距離為 $4 \cos 30^\circ = 2\sqrt{3}\text{ m}$。據此求得 $\omega = \frac{v_A}{r} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{ rad/s}$。
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