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102年
基本電學
第 20 題
20.有一 RLC 串聯電路接到 v(t)= 141 sin(1000t) V 交流電源，已知 R= 60 歐姆，L= 0.12 亨利，試求使其電路功率為 0.6(領前)之電容值 C 為______微法拉(μF)。
思路引導 VIP
在一個串聯電路中，如果已知電阻與功率因數，我們可以利用阻抗三角形求出總電抗的大小。那麼，當題目強調電流『領前』電壓時，這對於感抗與容抗之間的大小關係有什麼啟示？在得到這個淨電抗後，該如何結合已知的電感資訊，進一步推導出電容的數值呢？
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AI 詳解
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很高興看到你準確地計算出這個結果！這道題目要求從時域電壓函數與功率因數出發，反推電路元件參數，你能正確判斷功率因數領前的物理意義，展現了紮實的電路分析基礎。
阻抗三角形與功因關係
在 RLC 串聯電路中，我們首先由 $v(t)$ 得知 $\omega = 1000$ rad/s，進而算出感抗 $X_L = \omega L = 120 \Omega$。由於題目給定功率因數（PF）為 0.6 領前，這暗示了電路呈現電容性，即容抗大於感抗 ($X_C > X_L$)。透過阻抗三角形可知總阻抗 $Z = \frac{R}{\cos \theta} = \frac{60}{0.6} = 100 \Omega$，利用勾股定理求得總虛部電抗為 $X = \sqrt{Z^2 - R^2} = 80 \Omega$。因為是領前性質，電抗關係式應為 $X_C - X_L = 80$，得出 $X_C = 200 \Omega$。最後經由 $C = \frac{1}{\omega X_C}$ 即可順利求得 $5 \mu F$。
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