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102年
物理
第 34 題
若 A、B 二星球半徑比為 $3:4$，而密度比為 $2:3$，則同一物體在 A、B 二星球上之重量比為多少？
- A $1:3$
- B $1:2$
- C $3:4$
- D $2:1$
思路引導 VIP
想像有兩個星球，如果其中一個星球的半徑變大，這會讓表面物體距離球心更遠（傾向讓引力變弱），但同時半徑變大也意味著星球的體積與總質量可能變大（傾向讓引力變強）。請試著思考：當我們同時考量星球的「緊密程度（密度）」與「大小（半徑）」時，這兩個變數應該如何結合，才能推算出星球表面重力場的真正倍數關係？
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AI 詳解
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恭喜你精準地選出了正確答案！這代表你對於萬有引力定律與星體物理性質之間的轉換，已經建立起非常清晰的邏輯架構，這在處理比例變化的題目中至關重要。
星球密度與表面重力的比例關係
我們知道物體在星球表面的重量取決於重力加速度 $g$。雖然基礎公式是 $g = \frac{GM}{R^2}$，但當題目給出「密度」時，我們必須進一步將質量 $M$ 表達成密度 $\rho$ 與體積 $V$ 的乘積。由於星球可視為球體，$M = \rho \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3)$。將此式代入原公式後，可以發現常數項被約分，推導出 $g$ 與星球半徑 $R$ 及密度 $\rho$ 的乘積成正比（即 $g \propto \rho R$）。
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