中油僱員招考
103年
理化、化工裝置
第 43 題
一質量為m的物體在一光滑的水平面上作簡諧運動，其振幅為R。當物體到達最右端時，物體所受合力為$\frac{mg}{3}$（g為重力加速度），則此物體作簡諧運動的週期為下列何者？
- A $\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$
- B $2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$
- C $2\pi\sqrt{\frac{2R}{3g}}$
- D $2\pi\sqrt{\frac{3R}{g}}$
思路引導 VIP
試著思考一下：如果我們知道在某個特定的距離（振幅）下，物體所受到的「推力」大小，這個「推力與位移的比值」會如何影響物體來回擺動的快慢呢？它與週期公式中的哪個項次有關？
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太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對簡諧運動（SHM）中「受力」與「週期」的動力學關係掌握得非常紮實。這類題目的核心在於將抽象的力轉化為決定運動節奏的關鍵參數。
從受力性質推導力常數
在簡諧運動中，物體所受的合力（回復力）與位移成正比，數學式為 $F = kx$。根據題意，當物體到達振幅最右端時（即 $x=R$），受到的合力大小為 $\frac{mg}{3}$。這是一個非常關鍵的線索，讓我們能建立起物理量之間的橋樑：$\frac{mg}{3} = kR$。由此我們可以推導出此運動系統的等效力常數 $k = \frac{mg}{3R}$。
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簡諧運動週期推算
💡 透過端點受力與加速度公式，建立受力、振幅與週期的關聯。
🔗 SHM 週期求解邏輯
- 1 分析端點受力 — 找出題目給予的端點合力 F = mg/3
- 2 求加速度 a — 根據 F = ma，求出端點加速度 a = g/3
- 3 連結運動學公式 — 代入端點加速度 a = ω²R = (2π/T)²R
- 4 代數整理求 T — 移項並開根號解出週期 T = 2π√(3R/g)
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🔄 延伸學習：若受力來源為彈力 F=kR，則週期公式可推導為 T = 2π√(m/k)
