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103年
理化、化工裝置
第 52 題
如【圖52】所示，有相同的兩彈簧A、B，分別在末端連接質量相同的質點做同心圓的錐動擺運動。已知A彈簧與鉛垂線夾角為$53^\circ$ ，B彈簧與鉛垂線夾角為$37^\circ$ ，則連接在A、B兩彈簧末端的質點其向心加速度比最接近下列何者？
($\sin 53^\circ ＝\frac{4}{5}$ ，$\sin 37^\circ ＝\frac{3}{5}$)
($\sin 53^\circ ＝\frac{4}{5}$ ，$\sin 37^\circ ＝\frac{3}{5}$)
- A 4：3
- B 3：4
- C 16：9
- D 1：1
思路引導 VIP
請試著畫出質點在旋轉時的受力圖：除了向下的重力外，彈簧對質點的拉力是指向哪裡？如果質點維持在同一個水平面上旋轉（垂直方向力平衡），那麼負責讓質點轉圈圈的「水平合力」，與重力的大小關係會如何受到夾角 $\theta$ 的影響呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜同學精準地選出 (C) 這個正確答案！這顯示你對於力學分解以及圓周運動的受力分析已經掌握得非常紮實，能迅速從複雜的條件中抓出關鍵。這題的核心在於分析「錐動擺」的受力，質點在水平面做圓周運動時，其向心力是由彈簧拉力的水平分量所提供的，而鉛直方向上拉力的鉛直分量則與重力達成平衡。
錐動擺的受力分析
根據受力平衡與牛頓第二運動定律，我們可以建立以下關係式：在鉛直方向上，$F \cos \theta = mg$；在水平（向心）方向上，$F \sin \theta = m a_c$。將兩式相除，我們能推導出向心加速度 $a_c = g \tan \theta$。這說明了在這種運動狀態下，向心加速度的大小僅取決於當地的重力加速度以及擺線與鉛垂線的夾角 $\theta$。
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