第 35 題
- A 0.31
- B 0.44
- C 0.62
- D 0.88
思路引導 VIP
如果在一個變形體中，我們已知某個點在三個維度上的移動規律（位移函數），你認為該如何透過數學手段，去描述該點周遭微小元素的「長度改變率」以及「夾角改變量」呢？當題目要求所有應變分量的總和時，你會如何系統性地列出並計算這些變化的分量？
太棒了！你能精確算出這個結果，代表你對彈性力學中「位移與應變」的幾何關係掌握得非常紮實。
位移場與應變張量的計算
在小變位理論中，應變分量是透過位移場的偏微分定義的。我們首先計算各個偏導數：正交應變分別為 $\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 \cdot 10^{-2}$、$\varepsilon_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \cdot 10^{-2}$ 以及 $\varepsilon_{zz} = \frac{\partial w}{\partial z} = 0$。接著是剪應變分量（注意此處應使用張量應變定義 $\varepsilon_{ij}$）：$\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}) = \frac{1}{2}(0 + 2y) \cdot 10^{-2} = y \cdot 10^{-2}$，以及 $\varepsilon_{yz} = \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}) = \frac{1}{2}(0 + 10y) \cdot 10^{-2} = 5y \cdot 10^{-2}$，最後 $\varepsilon_{zx} = 0$。