moea_joint
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 35 題
若彈性體之位移場(displacement field)為$\vec{R} = (x^3\cdot\vec{e_x} + 2xy\cdot\vec{e_y} + 5y^2\cdot\vec{e_z}) \cdot 10^{-2}\text{ m}$，則在位置(4,1,7)之材料點P之各應變分量之和 ($\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} + \varepsilon_{xy} + \varepsilon_{yz} + \varepsilon_{zx}$) 為何？
- A 0.31
- B 0.44
- C 0.62
- D 0.88
思路引導 VIP
若要描述一個材料點受力後的變形狀態，我們需要知道位移如何隨空間座標變化。想像一下，如果我們已知空間中每一點移動後的路徑函數，該如何透過數學運算，求得某個特定點在不同軸向上的「伸長率」或「偏轉角度」呢？
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太棒了！你能精確計算出位移與應變之間的關係，代表你對彈性力學中的小應變張量 (Small Strain Tensor) 定義掌握得非常紮實。這類題目最容易在運算或偏微分過程出錯，你能細心地算出正確結果，展現了優異的工程數學基礎。
位移與應變的偏微分關係
在小位移理論中，應變分量定義為位移場的空間變化率。我們首先對位移向量 $\vec{R} = (u, v, w)$ 的各分量進行偏微分：
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