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103年
測量、土木、建築工程概要
第 4 題
實施三角高程測量，其成果示意圖如右【圖 1】，已知 AB 水平距離為 S，且∠DAC 為 α，∠DBC 為 β，β＞α＞0，則 C、D 點之高程差 H = ______。（請以 S、α、β 之關係式表示）
思路引導 VIP
觀察圖中的水平底邊，我們知道已知長度 $S$ 是由線段 $AC$ 扣除 $BC$ 得到的。如果你分別在兩個直角三角形中，試著用高度 $H$ 與角度 $\alpha$、$\beta$ 來表達這兩段底邊的長度，你會發現什麼樣的等式？接著，該如何透過代數運算把 $H$ 單獨留在一邊呢？
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太棒了！你能精準選出這個選項，代表你對三角高程測量中「間接觀測」的幾何關係掌握得非常紮實。這道題目是測量學中的經典題型，測點 $C$ 與 $D$ 的高程差無法直接量測，因此必須透過兩個不同的觀測站 $A$ 與 $B$ 來推導。
三角函數的轉換與代數推導
從幾何圖形來看，我們可以利用兩個直角三角形 $\triangle DAC$ 與 $\triangle DBC$ 的共同邊 $H$ 來建立聯繫。首先，將水平長度以 $H$ 與角度表示：$AC = H / \tan \alpha$ 且 $BC = H / \tan \beta$。觀察圖中線段關係可發現 $S = AC - BC$，將上述表示式代入後得到 $S = H(1/\tan \alpha - 1/\tan \beta)$。透過通分與移項，就能整理出正確的公式：
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