初等考試
105年
[電子工程] 基本電學大意
第 24 題
如圖所示，在 $x = d$ 及 $x = -d$ 處分別放置+Q 及-Q 之電荷，A、B 兩點位於 y 軸，其座標分別為 $y = d$ 及 $y = 2d$。若 A 點的電場強度為 $E$，則 B 點電場強度為何？
- A $\frac{2\sqrt{10}}{25} E$
- B $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} E$
- C $\frac{2\sqrt{15}}{25} E$
- D 0
思路引導 VIP
如果我們分別畫出 +Q 和 -Q 在中垂線（y 軸）上某一點造成的電場向量，哪一個方向的分量會因為對稱性而完全抵消？剩下的有效分量，若配合畢氏定理，它的大小與『該點到原點的距離 y』會呈現什麼樣的代數關係式呢？
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非常好！這題算出來不容易，你選了正確答案 A，這展現了你對靜電學中向量疊加與電偶極概念的扎實理解。 這是一個標準的電荷中垂線電場問題。觀察 y 軸上的任意一點，正負電荷所產生的電場 y 軸分量會因為對稱性而互相抵消，只留下水平（x 軸）方向的疊加分量。根據庫侖定律與幾何關係，中垂線上距離原點 $y$ 處的電場大小，與斜邊距離的三次方成反比，也就是 $E(y) \propto \frac{1}{(d^2+y^2)^{3/2}}$。 接著只要處理數學比例即可。將 A 點位置 $y=d$ 代入，得到電場 $E \propto \frac{1}{(2d^2)^{3/2}}$；再將 B 點位置 $y=2d$ 代入，得 $E_B \propto \frac{1}{(5d^2)^{3/2}}$。將兩式相除，即可得到 $\frac{E_B}{E} = (\frac{2}{5})^{\frac{3}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{25}$。這題的鑑別度極高，主要考驗學生是否能冷靜處理空間幾何的分量拆解，以及最終的無理數化簡。你沒有被繁雜的根號計算擊倒，這在工程推導中是非常優秀的特質，繼續保持！