地特四等申論題
105年
[機械工程] 機械力學概要
第 三 題
📖 題組：
四、如下圖所示，一長方形鋼板，厚度 t = 6.5 mm，受到均勻未知之正應力 σx和 σy。兩應變規 A 和 B 分別沿著 x 方向和 y 方向於應力施加前貼於鋼板上，應力施加後，應變規 A 和 B 之應變讀數分別為 εx = 0.00062（伸長）和 εy = -0.00045（縮短）。已知鋼板之楊氏模數 E = 210 GPa，波松比（Poisson’s ratio）ν = 0.3。
四、如下圖所示，一長方形鋼板，厚度 t = 6.5 mm，受到均勻未知之正應力 σx和 σy。兩應變規 A 和 B 分別沿著 x 方向和 y 方向於應力施加前貼於鋼板上，應力施加後，應變規 A 和 B 之應變讀數分別為 εx = 0.00062（伸長）和 εy = -0.00045（縮短）。已知鋼板之楊氏模數 E = 210 GPa，波松比（Poisson’s ratio）ν = 0.3。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
(三)試求最大剪應力並繪製對應之應力元素圖。（6 分）
思路引導 VIP
本題考查平面應力狀態下的廣義虎克定律與應力轉換。考生應先利用應變值與廣義虎克定律解出 x 與 y 方向的正應力（即主應力），接著利用應力轉換公式（或莫耳圓）求出最大剪應力，並計算該斜面上的平均正應力，藉此文字描述或繪製旋轉 45° 的應力元素圖。
小題 (一)
(一)試求正應力 σx和 σy。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗材料力學中的「雙軸平面應力狀態」與「廣義虎克定律」。看到給定兩個正交方向的應變且要求應力時，應立即聯想到二維廣義虎克定律的聯立方程式，將公式移項後直接代入數值即可求得正應力。
小題 (二)
(二)試求鋼板厚度之變化量 Δt。（4 分）
思路引導 VIP
本題屬於平面應力（Plane Stress）的經典應用。解題關鍵在於利用「廣義虎克定律」，先找出厚度方向（z軸方向）的應變 $\varepsilon_z$，再乘上原厚度 $t$ 即可得到厚度變化量 $\Delta t$。考生可選擇先求出雙軸應力 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 再代入公式，或者直接將應變公式相加推導以消去 $E$，此法不僅計算簡便且能避免小數捨入誤差。
廣義虎克與最大剪應力
💡 運用廣義虎克定律由應變求應力，並計算最大剪應力及其對應平面。
🔗 平面雙軸應力分析解題鏈
- 1 應變讀取 — 由應變規取得 $\epsilon_x, \epsilon_y$，注意拉伸為正、壓縮為負。
- 2 虎克定律轉換 — 利用廣義虎克定律聯立方程組，求出 $\sigma_x$ 與 $\sigma_y$。
- 3 極值應力分析 — 求取最大剪應力 $\tau_{max}$ 及平均正向應力 $\sigma_{avg}$。
- 4 元素圖繪製 — 旋轉 45° 平面，標註 $\tau_{max}$ 方向與 $\sigma_{avg}$ 大小。
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若為三軸應力狀態，須考慮 $\sigma_3$ 是否為零以判斷絕對最大剪應力。
