第 三 題
令 X 為某電子零件的厚度，最理想的厚度值是 θ（單位：mm）。現在給定一組所謂 iid 資料，X1, X2, ..., Xn。令 μX 為 X 之期望值，σ2X 為 X 之變異數。我們想要估計 μX 與 σ2X。我們以不偏（unbiased）或小的 mean squared error（mse）為選取估計量的標準。令 ∑ = = n X i Xi n 1 / 為 μX之估計量。令se(X ) = var(X )為 X 之標準誤。再令 3 個 σ2X 之估計量定義如下：‧ σˆ12 = ∑(Xi - X)2 / (n-1) = S2 ‧ σˆ22 = (n-1)S2 / n ‧ σˆ32 = (n-1)S2 / (n+1) 回答以下問題並說明理由：（每小題 5 分，共 30 分）
小題 (三)
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看到中央極限定理（CLT）的定義題，應立即聯想到「樣本平均數」在經過「標準化」處理後，其極限分配會趨近於標準常態分配。作答時除了寫出中文敘述外，務必附上精確的數學符號表達以展現專業度。
小題 (一)
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看到題目指明「指數分配」與「平均數」，首要任務是定義機率變數 X 並求出率參數 λ（λ = 1/μ）。接著，利用指數分配的存活函數（Survival Function）P(X > x) = e^(-λx) 特性，直接代入數值與給定的 e 近似值求解即可。
小題 (二)
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本題結合了『指數分配的機率計算』與『常態逼近二項分配』兩大考點。首先需計算出單部車服務時間超過 60 分鐘的機率 p，接著定義 100 部車中超過 60 分鐘的車數服從二項分配 B(100, p)，最後利用常態逼近並加入連續性修正（Continuity Correction）來求得最終的近似機率。
小題 (四)
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看到「是否為不偏估計量」，直覺反應是去計算該估計量的期望值 E(σˆ1²)，並檢查其結果是否等於母體參數 σ²X。解題核心在於將離差平方和 ∑(Xi - X̄)² 展開並引入母體平均數 μX，利用 Var(Xi) 與 Var(X̄) 的性質進行期望值推導。
小題 (五)
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計算變異數估計量的均方誤差（MSE），核心公式為 MSE = 變異數 + (偏誤)^2。在未特別說明的情況下，實務上通常假設母體服從常態分配，利用樣本變異數與卡方分配的轉換關係，推導出一般化估計量 cS² 的 MSE 函數，再透過微分求極值即可找出最佳解。
小題 (六)
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看到求最大概似估計量（MLE），應立即寫出常態分配的聯合機率密度函數（概似函數 Likelihood function）並取自然對數（Log-likelihood）。接著對未知參數 $\mu_X$ 與 $\sigma_X^2$ 分別求偏導數並令其為零，解聯立方程式即可求得 MLE，最後再對應題目給定的估計量選項。