高考申論題
105年
[測量製圖] 測量平差法(包括誤差理論及實務)
第 一 題
Gauss Markov Model（GMM）的最小二乘解是X = (AᵀPA)⁻¹AᵀPL，其中 A 是設計矩陣，P 是權重矩陣，L 是觀測向量。L 的協方差矩陣（covariance matrix）是 Σ。定義新的隨機向量 S 和 R 為：S = AX、R = PL。試求 S 和 R 之間的協方差矩陣。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到此類平差理論題，首先想到『協方差傳播律（Law of Covariance Propagation）』。將目標向量 S 與 R 皆表示為原始觀測量 L 的線性函數（S = C_S * L, R = C_R * L），再代入交叉協方差公式 Cov(S,R) = C_S * Σ * C_Rᵀ，最後利用 GMM 中權重矩陣 P 與協方差矩陣 Σ 的關係（P = σ₀²Σ⁻¹）進行矩陣化簡。
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【解題思路】利用協方差傳播律（Law of Covariance Propagation），將向量 S 與 R 均轉換為觀測向量 L 的線性組合，再代入公式求取交叉協方差矩陣。 【詳解】 已知：
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