高考申論題
109年
[測量製圖] 測量平差法(包括誤差理論及實務)
第 一 題
📖 題組：
大型測量平差可以矩陣方式處理。令矩陣型式之觀測方程式為V=AX-L，其中V、A、X、L分別為含殘差，設計係數，未知數及觀測量之矩陣（或向量）。L之協變方矩陣為Σ。
大型測量平差可以矩陣方式處理。令矩陣型式之觀測方程式為V=AX-L，其中V、A、X、L分別為含殘差，設計係數，未知數及觀測量之矩陣（或向量）。L之協變方矩陣為Σ。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
列出未知數X之最小二乘解及X之協變方矩陣。（10分）
思路引導 VIP
本題考查間接觀測平差（觀測方程式）的基本矩陣推導。考生應從最小二乘法的基本原理「殘差平方和最小」出發。首先確定權矩陣 P 與協變方矩陣 Σ 的關係（P = Σ⁻¹），接著建立法方程式（Normal Equation），最後解出未知數向量 X。對於協變方矩陣，則需利用誤差傳播定律（Propagation of Errors）從 L 的變異數推導至 X。
小題 (二)
殘差V之協變方矩陣可用於粗差偵測及可靠度分析。試列出V之協變方矩陣。（15分）
思路引導 VIP
本題進一步考查殘差向量 V 的誤差特性。殘差是觀測值與平差值之差。思考關鍵在於將 V 表達為觀測量 L 的線性函數。既然已知 X = (AᵀPA)⁻¹AᵀPL，將其代入 V = AX - L，即可將 V 以 L 表示。隨後再次應用誤差傳播定律求得 Σᵥ。