高考申論題
108年
[測量製圖] 測量平差法(包括誤差理論及實務)
第 四 題
四、下圖所示為一個測角的前方交會問題，圖中 A、B、C 為已知點（單位：m），P 為待定點；4 個角度為等權觀測，P 點的近似坐標為 x_P0 = 6861.35 m、y_P0 = 3727.59 m。經過線性化的觀測方程式為 JX=K+V：
J = [ 4.507 33.800 ]
[ 15.447 -40.713 ]
[-15.447 40.713 ]
[ 25.732 -27.788 ]
X = [ dx_P ]
[ dy_P ]
K = [ -0.238" ]
[ -0.214" ]
[ -0.689" ]
[-20.235" ]
V = [ v_L1 ]
[ v_L2 ]
[ v_L3 ]
[ v_L4 ]
試以最小二乘法間接觀測平差法，求 P 點的坐標平差值(x_P, y_P)及其標準差。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
面對等權間接觀測平差題，首要步驟是建立法方程式 $J^T J X = J^T K$。依序算出法方程式係數矩陣 $N = J^T J$ 與常數矩陣 $U = J^T K$ 後求反矩陣解出座標改正數 $X$，接著計算平差後座標；最後透過殘差平方和推求單位權中誤差，結合權係數矩陣 $N^{-1}$ 的對角線元素計算出各座標的標準差。
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【解題關鍵】利用最小二乘法間接觀測平差原理建立法方程式 $J^T J X = J^T K$，求解改正數後，再依誤差傳播律推算平差坐標及其標準差。 【計算】 Step 1：建立法方程式 (Normal Equation)
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