地特三等申論題
106年
[測量製圖] 測量平差法(包括誤差理論及實務)
第 四 題
假設平面上 4 個點位於一個圓弧上，其平面坐標 (x, y) 的觀測值分別為 (2.10, 5.20)、(2.90, 4.10)、(1.80, 3.20) 及 (1.10, 4.20)（x, y 的單位皆為 m）。圓的方程式為 (x-h)² + (y-k)² = r²，其中，(h, k)、r 分別代表圓心坐標及半徑。欲利用上述 4 個點的平面坐標 (x, y) 擬合一個圓，若 (h, k)、r 的近似值已知，分別為 (h₀, k₀) = (1.90, 4.00)、r₀ = 1.00；試利用最小二乘法間接觀測平差法，求擬合圓的圓心坐標、半徑及其中誤差。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「圓擬合」且給定「參數近似值」，應立刻想到利用泰勒展開式將非線性的圓方程式線性化。為了手算簡便，測量平差實務上常將觀測方程式改寫為距離平方差的形式以避開開根號計算。接著建立 V = AΔX - L 矩陣模型，透過法方程式 NΔX = AᵀL 求解參數修正量，最後再由殘差平方和求得單位權中誤差與各參數之中誤差。
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【解題關鍵】將非線性的圓方程式以泰勒展開線性化，建立間接觀測平差模型 $V = A\Delta X - L$，並解算法方程式求得修正量及中誤差。 【解答】 計算：
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