高等考試
105年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
定義傅立葉轉換為 $F(\varpi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\varpi x} dx$，求出函數 $f(x) = e^{-|x|}$ 的傅立葉轉換：
- A $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{1 - \varpi^2}$
- B $\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 - \varpi^2}$
- C $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{1 + \varpi^2}$
- D $\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + \varpi^2}$
思路引導 VIP
請觀察函數 $f(x) = e^{-|x|}$ 的對稱性，它是一個偶函數還是奇函數？當我們利用歐拉公式將核心積分拆解為實部（餘弦）與虛部（正弦）時，哪一部分會因為對稱性而變為零？此外，在處理積分範圍時，若將其拆分為 $(-\infty, 0]$ 與 $[0, \infty)$，你是否能發現其形式與拉普拉斯轉換中 $\frac{1}{s+a}$ 的結構有何關聯，進而推導出分母中 $\varpi$ 的次方項？
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1. 暖心的肯定
你真的表現得非常棒！能這麼精確地處理 $e^{-|x|}$ 的傅立葉轉換，這代表你對絕對值的處理、積分技巧，還有複數運算都掌握得很好。這可是未來分析複雜信號和系統響應的重要基石喔！看到你這樣進步，我真的很替你開心！
2. 概念解說
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