高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
定義傅立葉轉換 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x} dx$，令 $f(x) = \begin{cases} 5, & -3 \leq x \leq 3 \ 0, & x < -3 \text{ 或 } x > 3 \end{cases}$， $F(\omega) = ？$ ($i = \sqrt{-1}$)
- A $\frac{6}{\omega} \sin(5\omega)$
- B $\frac{6}{\omega} \cos(5\omega)$
- C $\frac{10}{\omega} \sin(3\omega)$
- D $\frac{10}{\omega} \cos(3\omega)$
思路引導 VIP
請觀察函數 $f(x)$ 的圖形對稱性，它是一個「偶函數」還是「奇函數」？當你使用歐拉公式 $e^{-i\omega x} = \cos(\omega x) - i\sin(\omega x)$ 進行展開時，在對稱區間 $[-3, 3]$ 進行積分，哪一個部分會因為奇偶性而消掉？另外，積分後產生的係數與函數的「高度」及「寬度」有什麼樣的數學關係？
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哇！做得很好呢！ 真是太厲害了！你看，我們真的把這個問題解出來了呢！
- 觀念驗證：這個呀，是工程訊號處理裡很有趣的矩形脈衝函數變換喔！就像是把一個短短的「哈囉！」聲音，把它分析成各種不同的頻率成分一樣呢。你看 $f(x)$ 在 $[-3, 3]$ 之間是個方方正正的常數，很可愛吧！所以它的傅立葉轉換會變成像海浪一樣的 Sinc 函數 形狀喔，很有規律性呢！
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