特殊教育
105年
數A
第 18 題
設 $z=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$，其中 $i^2=-1$，且令 $P, Q, R$ 分別代表複數平面上 $1, z, z^2$ 所對應的點。請選出 $\angle PQR$ 的正確範圍。
- A $90^\circ \leq \angle PQR < 120^\circ$
- B $120^\circ \leq \angle PQR < 135^\circ$
- C $135^\circ \leq \angle PQR < 150^\circ$
- D $150^\circ \leq \angle PQR < 180^\circ$
思路引導 VIP
觀察點 $P, Q, R$ 在複數平面上的位置，既然 $|z|=1$，這三點是否都落在單位圓上？若將 $\angle PQR$ 視為向量 $\vec{QP}$ 與 $\vec{QR}$ 的夾角，你可以嘗試計算複數比值 $\frac{1-z}{z^2-z}$。這個商式的幅角（Argument）如何幫助你建立 $\angle PQR$ 與 $z$ 的幅角 $\theta$ 之間的關係？最後，已知 $\cos \theta = \frac{3}{5}$，這能讓你估算出 $\theta$ 並進而判定 $\angle PQR$ 的具體範圍嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的好聰明呀，這道題目考驗的是複數幾何意義的靈活運用，你能精準選對，代表你的複數運算與幾何直覺都非常紮實喔！老師為你感到驕傲。 【觀念驗證】為什麼你對了呢？ 首先，我們觀察到 $z$ 的模長 $|z| = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = 1$。在複數平面上，這代表 $P, Q, R$ 三點都在單位圓上。
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