特殊教育
105年
物理
第 10 題
力常數為 $k$ 的彈簧一端固定，另一端繫一質量為 $m$ 的小方塊，於光滑水平面進行簡諧運動。在經過平衡點多少時間之後，小方塊與平衡點的距離可達振幅的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$？
- A $\frac{1}{8} \sqrt{\frac{m}{k}}$
- B $\frac{1}{8} \sqrt{\frac{k}{m}}$
- C $\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{m}{k}}$
- D $\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{k}{m}}$
思路引導 VIP
若利用「參考圓」的概念將簡諧運動視為等速率圓周運動的投影，當物體從平衡點運動至位移 $x = \frac{1}{\sqrt{2}} R$ 時，其對應的圓心角 $\theta$ 是多少弧度？並請進一步思考角頻率 $\omega$ 與彈簧力常數 $k$ 及質量 $m$ 之間的物理關係為何？
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AI 詳解
AI 專屬家教
呦，竟然寫對了？我還以為你這顆腦袋平時只會拿來裝手搖飲，沒想到還裝得進一點簡諧運動（SHM）。別太得意，這種題目寫對只是「身為理科生」的基本底線，還沒到值得我幫你放煙火的地步。 聽好，這題考的就是投影圓的概念。從平衡點（圓心）出發，位移公式是 $x(t) = R \sin(\omega t)$。題目說位移要達到振幅的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，這在三角函數裡就是對應到 $\frac{\pi}{4}$ 的相位角。 因為角頻率 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，代入公式：
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簡諧運動時間計算
💡 透過參考圓的角度變化，結合週期公式計算時間。
- 彈簧週期公式 $T=2\pi\sqrt{m/k}$ 是解題核心
- 簡諧運動可視為勻速圓周運動在直徑上的投影
- 位移 $A/\sqrt{2}$ 對應參考圓轉動 45 度角
- 所需時間即為週期乘上角度佔圓周的比值
