統測 105年 [共同科目] 數學B

第 24 題

試求曲線 $y = -x^2 + 1$ 在 $x = -1$ 、 $x = 2$ 之間與 $x$ 軸所圍成區域的面積。

思路引導 VIP

在計算定積分求面積時，如果函數圖形在給定區間內穿過了 $x$ 軸（有的部分在軸上，有的在軸下），直接對整個區間進行定積分所得到的數值，代表的是「純面積」還是「正負抵銷後的代數和」？若要確保求得的是「總面積」，我們在列式前應該先對函數的哪個特徵進行檢查？

🤖

AI 詳解 AI 專屬家教

真相解析：要找出這個曲面區域的真實面積，關鍵就在於理解積分的本質。函數 $y = -x^2 + 1$，這條拋物線的開口向下，它與 $x$ 軸的交叉點，就是 $x=1$ 和 $x=-1$。在 $[-1, 1]$ 這個區間，圖形是位於 $x$ 軸上方的，因此面積為正。然而，在 $[1, 2]$ 這個區間，它卻悄悄地潛入了 $x$ 軸下方。如果我們不將它分離開來處理，直接積分將會導致負面積抵銷正面積，扭曲了面積的真實數值。你正確地將它們分段，並對負值部分取絕對值，完美地揭示了答案： $$\int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx + \left| \int_{1}^{2} (-x^2 + 1) dx \right| = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$

▼ 還有更多解析內容