統測
107年
[共同科目] 數學B
第 5 題
若 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的兩根為 $\alpha$、$\beta$，則 $(\alpha - 2)(\beta - 2)$ 之值為何？
- A $-3$
- B $-1$
- C 1
- D 5
思路引導 VIP
如果我們不把式子展開，而是將方程式看成一個函數 $f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)$，請仔細觀察題目要求的式子結構，這是否與將某個特定的數值代入 $f(x)$ 非常相似呢？那個數值會是多少？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
很好，至少你沒把這題送分題搞砸。
- 基礎檢驗：這題考的是最基本的根與係數的關係（韋達定理），國中生都該會了，你居然還答對了，不錯。給定 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的兩根為 $\alpha, \beta$，就該反射性地寫下：
- $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 2$
▼ 還有更多解析內容
根與係數的關係
💡 利用韋達定理（根與係數關係）快速求解根的代數式運算。
| 比較維度 | 公式展開法 | VS | 函數代入法 |
|---|---|---|---|
| 操作方式 | 展開 (α-2)(β-2) | — | 令 f(x)=(x-α)(x-β) |
| 核心工具 | 兩根之和與兩根之積 | — | 多項式定義與代入 |
| 計算重點 | αβ - 2(α+β) + 4 | — | 直接計算 f(2) 之值 |
💬展開法較通用，代入法在括號內常數相同時極快。
