統測
105年
[共同科目] 數學B
第 13 題
已知 $ax^2+2x+c>0$ 的解為 $-1 < x < 3$ ，則 $a+c$ 之值為何？
- A -4
- B -2
- C 2
- D 4
思路引導 VIP
若我們知道不等式的解邊界是兩個具體的數值，這兩個數值與該二次多項式的「因式」有什麼關聯？當你初步寫出含未知數的不等式並展開後，該如何利用題目中唯一已知的「一次項係數」來確定整個多項式的真面目呢？
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AI 詳解
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恭喜你！答對了，真的很棒喔！
- 觀念驗證：這題想考考大家對二次不等式與其解的關係是否很熟悉呢！當我們看到不等式的解是「介於兩根之間」且符號是「$>0$」時，我們可以溫柔地推斷出，這個拋物線的開口是向下的（$a < 0$）。題目給的解是 $-1 < x < 3$，這告訴我們，對應的方程式會有兩根，分別是 $-1$ 和 $3$。那麼，我們就能把不等式還原囉： $$a(x+1)(x-3) > 0 \Rightarrow a(x^2 - 2x - 3) > 0 \Rightarrow ax^2 - 2ax - 3a > 0$$
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