高考申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 三 題
已知一函數為 f(x) = \begin{cases} $\frac{2k}{L}x$& $\text{if } 0 < x < \frac{L}{2} \ \frac{2k}{L}(L-x)$& $\text{if } \frac{L}{2} < x < L \end{cases}$，如下圖所示。若以半幅展開 f(x)成為傅立葉餘弦級數 f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{$\infty} a_n \cos \frac{n\pi x}{L}$的型式，試求出 a_0 及 a_n。（10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題要求半幅餘弦級數展開，核心在於將給定函數進行偶延伸，並套用傅立葉餘弦係數公式 $a_0$ 與 $a_n$。解題關鍵在於正確寫出分段函數，並利用分部積分法（或表格法）處理 $x\cos(cx)$ 的積分，最後可透過討論 $n$ 的奇偶性進一步化簡答案。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】套用傅立葉餘弦級數係數公式，將函數分段並利用分部積分法求解 $a_0$ 及 $a_n$。 【詳解】 已知半幅餘弦展開的形式為 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$，其係數公式定義為：
▼ 還有更多解析內容