高考申論題
107年
[電力工程] 工程數學
第 三 題
請求出週期函數 $f(x) = \frac{x^2}{2}$ ，其中 $-\pi < x < \pi$ 之傅立葉級數，再利用此級數證明
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + ...... = \frac{\pi^2}{6}$。（15 分）
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + ...... = \frac{\pi^2}{6}$。（15 分）
📝 此題為申論題
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函數為偶函數，傅立葉級數無正弦項 (b_n = 0)。先算出 a_0 與 a_n，建立傅立葉級數，隨後將特定值 x = π (或 -π) 代入求出該無窮級數總和。
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【解題思路】利用偶函數特性計算傅立葉級數的係數（無正弦項），展開後代入適當的 $x$ 值（如 $x=\pi$）求解無窮級數之和。 【詳解】 已知：$f(x) = \frac{x^2}{2}$，$-\pi < x < \pi$，週期 $2L = 2\pi \implies L = \pi$。
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