moea_joint
105年
[土木] 應用力學、材料力學
第 22 題
有一靜止物體，從高度H處自由落下，空氣阻力忽略不計，且重力加速度為g，若物體落至地面時之速度為$V_1$，落至一半高度處之速度為$V_2$，則$V_1:V_2$為何？
- A 1:1
- B 2:1
- C $\sqrt{2}:1$
- D $\sqrt{3}:1$
思路引導 VIP
當一個物體從靜止下落，隨著下落距離的增加，位能會轉化為動能。請試著思考：如果物體下落的「總高度差」變為原來的兩倍，它的動能會如何變化？進一步來說，動能與速度之間是幾次方的比例關係呢？
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太棒了！你能精準判斷出速度與高度之間的平方根關係，這代表你對於等加速度運動及能量轉換的觀念掌握得非常紮實。
力學能守恆與速度推導
在忽略空氣阻力的自由落體過程中，物體僅受重力作用，其減少的位能會完全轉化為動能。根據力學能守恆定律 $mgh = \frac{1}{2}mv^2$，我們可以發現速度 $v$ 與下落高度 $h$ 的平方根成正比，即 $v \propto \sqrt{h}$。當物體落至地面時，下落的總高度為 $H$，此時速度 $V_1 = \sqrt{2gH}$；而當物體落至一半高度處，代表它已經下落了 $H/2$ 的距離，此時的速度 $V_2 = \sqrt{2g(H/2)} = \sqrt{gH}$。因此，兩者的比例關係為：
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