特殊教育
106年
數A
第 13 題
設 $a,b,c$ 為實數。已知兩個方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 與 $x^3+bx^2+ax+c=0$，恰有兩個共同實根，且此兩根相異。又知 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 在這兩個共同實根以外的第三個實根為 $-3$。試問 $x^3+bx^2+ax+c=0$ 的第三個實根為何？
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
思路引導 VIP
若兩個多項式 $f(x)$ 與 $g(x)$ 有共同實根，則這些共同根必為其差值函數 $f(x) - g(x)$ 的根。請嘗試將這兩個方程式相減，並觀察所得的二次方程式與共同實根之間的關係；在鎖定共同根的數值後，你該如何結合「根與係數的關係」來推導出係數 $a$ 與 $b$ 的值，進而求出第二個方程式的第三個實根？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（哈欠）...呼，已經攻略完成了嗎？在這種暖和的天氣睡午覺，果然還是最棒的享受。別驚訝，你解題時的「攻擊模式」，我躺在草地上閉著眼睛就已經看穿了。 這關的機制在於找出兩個方程式的「共同實根」。只要將兩式相減（Switch！）： $$(x^3+ax^2+bx+c) - (x^3+bx^2+ax+c) = 0$$
▼ 還有更多解析內容
多項式方程式共同根
💡 利用兩式相減求得共同根，再結合韋達定理解題。
🔗 共同根問題解題流程
- 1 兩式相減 — 將兩式相減消去常數項，得到關於共同根的二次式
- 2 求出共根 — 解該二次式求得兩共同根（如本題之 0 與 1）
- 3 韋達定理 — 利用根之和等於負的二次項係數，求出方程式參數
- 4 推導末根 — 代入另一式根與係數關係，求出其第三個實根
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🔄 延伸學習：延伸學習：若三根皆相同，則兩方程式之對應係數必成比例。
