moea_joint
106年
[機械] 應用力學、材料力學
第 41 題
如右圖所示一中空鋼圓柱(截面積$3\text{ in}^2$，$\alpha=6.5\times10^{-6}\text{ (}^{\circ}\text{F}^{-1})$，$E=30\times10^6\text{ lb/in}^2$)圍在一實心銅圓柱(截面積$10\text{ in}^2$，$\alpha=9.3\times10^{-6}\text{ (}^{\circ}\text{F}^{-1})$，$E=16\times10^6\text{ lb/in}^2$)外，上方並承受一$30,000\text{ lb}$之軸向荷重，假設未加載前兩個圓柱高度相同，試問約需加溫多少才能使加載之軸向荷重全由實心銅圓柱承受？(此時兩柱均與上方不變形鋼體保持接觸)
- A $34^\circ\text{F}$
- B $67^\circ\text{F}$
- C $92^\circ\text{F}$
- D $111^\circ\text{F}$
思路引導 VIP
老師想請你想想看：如果今天這 30,000 磅的荷重完全由內層的銅圓柱獨自撐起，這代表外層的鋼圓柱目前處於什麼樣的受力狀態？在這種受力狀態下，鋼圓柱的長度變化是由哪些因素造成的？若要確保鋼圓柱與銅圓柱最終的高度依然保持一致，它們各自的變形量（包含溫度引起與力引起的變形）應該維持什麼樣的關係？
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AI 詳解
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恭喜你準確掌握了這道材料力學的複合變形題！你能順利選出 (B)，說明你對變形相容條件（Compatibility condition）以及熱應力的物理意義有很深刻的理解。
熱膨脹與力學變形的平衡
這題的關鍵在於解讀「荷重全由銅圓柱承受」這句話。這意味著鋼圓柱此時的內力為零，因此它的長度變化純粹來自熱膨脹；而銅圓柱則同時經歷了熱膨脹與荷重產生的壓縮變位。由於兩者上方皆與不變形剛體保持接觸，這代表鋼與銅的最末端位移量必須完全相同。我們可以寫出變形相容方程式：
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