普考申論題
107年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
十八世紀（1772 年）德國天文學家波德（Bode）提出了一個經驗式來歸納太陽系行星與太陽之間的距離。下表是當年波德所取得的觀測數據，距離為天文單位（AU）。
行星名稱：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星
與太陽距離：0.38, 0.72, 1.00, 1.52, 5.20, 9.57, 19.19, 30.07, 38.62
波德先設定一個數列如下：
0, 0.3, 0.6, 1.2, 2.4, 4.8, 9.6, 19.2, 38.4, …
其次將每個數加大一個量變成
0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6, 38.8, …
至此，波德發現這個數列居然相當吻合表列的距離數據。於是他先設定起始條件，第一顆行星次序 n=1，其與太陽距離 d(n) = 0.4。再幾經試誤（trial and error）之後他提出了一個簡單的數學式表示行星與太陽之間的距離，稱之為波德定律。請根據上面的規則推算並寫出波德定律。（20 分）
📝 此題為申論題
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觀察波德數列的構成，先找出原始數列的規律，發現從第二項開始為公比為 2 的等比數列。將該數列的一般項表示為關於行星次序 n 的函數，加上常數 0.4，即可推導出波德定律的數學式。
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【解題思路】觀察數列前後項的倍數關係與加法關係，推導出等比數列的通項公式，並建立與行星次序 $n$ 的函數關係。 【詳解】 已知條件整理：
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