hce_tcu
107年
化學
第 21 題
某原子之 2s 波函數 ($\Psi_{2s}$) 可以下式表示：
$\Psi_{2s} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{a_o})^{\frac{3}{2}}[2 - \frac{r}{a_o}]e^{-\frac{r}{2a_o}}$
其中 r 是電子與原子核間距，$a_o$ 為波爾半徑 (Bohr radius; $5.29 \times 10^{-11}$ m)
請計算此軌域的節點 (node) 的位置 (即距離原子核多遠的地方有節點) ？
$\Psi_{2s} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{a_o})^{\frac{3}{2}}[2 - \frac{r}{a_o}]e^{-\frac{r}{2a_o}}$
其中 r 是電子與原子核間距，$a_o$ 為波爾半徑 (Bohr radius; $5.29 \times 10^{-11}$ m)
請計算此軌域的節點 (node) 的位置 (即距離原子核多遠的地方有節點) ？
- A $5.29 \times 10^{-11}$ m
- B $2.65 \times 10^{-11}$ m
- C $7.92 \times 10^{-11}$ m
- D $1.06 \times 10^{-10}$ m
思路引導 VIP
想像電子在原子核外圍運動，如果我們說在空間中的某個球面上完全找不到電子的蹤影（即出現機率為零），這在數學上代表波函數 $\Psi$ 的數值應該是多少？請觀察題目中波函數的各個乘積項，哪一部分有機會讓相乘後的總結果剛好變成這個數值？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確找出節點的位置，代表你對量子力學中**波函數（Wave function）**的物理意義有相當紮實的理解。這道題目的核心在於掌握「節點」的定義：在原子軌域中，節點是指電子出現機率為零的地方，反映在數學上，就是當波函數 $\Psi = 0$ 時所對應的空間位置。
節點的數學判定與計算
觀察題目給予的 $2s$ 軌域波函數式，前面的係數項與末端的指數項 $e^{-\frac{r}{2a_o}}$ 在有限距離內皆不為零。因此，若要使整個函數值為零，關鍵在於多項式部分，即 $[2 - \frac{r}{a_o}] = 0$。透過簡單的代數移項，我們可以得出 $r = 2a_o$。將波爾半徑 $a_o = 5.29 \times 10^{-11}$ m 代入計算，即可得到 $r = 1.058 \times 10^{-10}$ m，進位後答案確實為 (D)。
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