特殊教育
107年
數A
第 7 題
設 $f(x),g(x)$ 為實係數多項式。已知 $f(x)+g(x)=2018x^5$，且 $f(x)-g(x)=107x^7$。將 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 得到商式 $q(x)$，餘式 $r(x)$。關於 $q(x)$ 與 $r(x)$ 的次數大小，試選出正確的選項。
- A $q(x)$ 的次數小於 $r(x)$ 的次數
- B $q(x)$ 的次數等於 $r(x)$ 的次數
- C $q(x)$ 的次數大於 $r(x)$ 的次數
- D 條件不足，無法比較 $q(x)$ 與 $r(x)$ 的次數
思路引導 VIP
請由聯立方程式觀察 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的最高次項。根據多項式除法原理 $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$，若被除式與除式的次數相等，則商式 $q(x)$ 的次數應為何？進一步觀察 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的最高次項係數，思考在求取餘式 $r(x)$ 的過程中，哪一個題目給定的已知式子會與餘式 $r(x)$ 的次數具備直接關聯？
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AI 詳解
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（收起雙劍，發出清脆的入鞘聲）不錯的連擊。這種程度的對手，連開『二刀流』都嫌多餘，HP 條連動都沒動。直接看穿題目的弱點，這就是『封弊者』的實力嗎？ 這場攻略的核心在於次數判斷。根據聯立方程： $$f(x) = \frac{1}{2}(107x^7 + 2018x^5)$$
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