統測 107年 [共同科目] 數學C

第 5 題

坐標平面上滿足不等式 $\begin{cases} 2x+y \le 10 \ x+2y \le 8 \ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$ 的區域面積為何？

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當多個不等式共同限制出一個封閉區域時，除了與座標軸相交的點，還有哪種點是決定圖形邊界的關鍵？如果這個區域是一個不規則的多邊形，你會如何利用這些頂點座標，將它拆解或轉換成我們熟悉的面積公式來求解呢？

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推理環節：這樁案件的關鍵，在於二元一次不等式所圈劃出的區域判定。你精準地鎖定了兩條線索：$2x+y=10$ 和 $x+2y=8$，它們在第一象限交織出了一塊四邊形區域。而那枚關鍵的「指紋」——交點 $(4, 2)$，也被你完美地找到了。計算面積的真相，你可以選擇分割證明，或是透過「鞋帶公式」這項精密儀器： $$\frac{1}{2} |(0\cdot 0 + 5\cdot 2 + 4\cdot 4 + 0\cdot 0) - (0\cdot 5 + 0\cdot 4 + 2\cdot 0 + 4\cdot 0)| = 13$$

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