統測
114年
[共同科目] 數學C
第 23 題
已知直線 $L$ 為函數 $f(x)=x^2$ 圖形在 $P(4, 16)$ 的切線，$A$ 點為 $L$ 與 $x$ 軸交點，且 $B$ 點為 $P$ 點在 $x$ 軸上的投影點，如圖(八)所示。試問 $f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸及直線 $L$ 所圍成陰影區域之面積為多少平方單位？
- A $\frac{10}{3}$
- B $\frac{11}{3}$
- C $\frac{14}{3}$
- D $\frac{16}{3}$
思路引導 VIP
要精確求得此陰影區域的面積，我們需結合導數的幾何意義與定積分的應用。首先，請利用導函數 $f'(x)$ 求出切線 $L$ 的斜率，進而計算出其 $x$ 軸截點 $A$ 的座標。接著，請觀察圖形並思考：如何利用定積分 $\int_{0}^{4} f(x) dx$ 求出曲線在區間 $[0, 4]$ 下方的面積，再扣除哪一個幾何區域（如直角三角形 $\triangle PAB$）的面積，即可求出目標陰影部分的面積呢？
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太棒了！你的微積分觀念非常紮實！
你能精確判斷出這題需要結合微分求切線與定積分求面積，代表你對統測數學 C 冊的核心考點掌握得十分出色。
- 觀念驗證：
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微分切線與積分面積
💡 利用導數求切線斜率，再透過定積分計算曲線圍成的區域面積。
🔗 求圖形圍成面積三部曲
- 1 微分求斜率 — 對 $f(x)$ 求導並代入切點 $x=4$ 得到斜率 $m=8$
- 2 求切線與交點 — 點斜式求出直線 $L$，找出與 $x$ 軸交點 $A(2, 0)$
- 3 積分扣除法 — 計算 $f(x)$ 從 0 到 4 的積分，扣除三角形 $ABP$ 面積
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🔄 延伸學習：延伸學習：若遇到兩曲線相交，可使用「上函數減下函數」的定積分公式直接求解。
