moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 14 題
右圖中，若桿件降伏應力為 $\sigma_y$，求極限載重 $P_u$ 為何？
- A $\frac{\sigma_y h^3}{4L}$
- B $\frac{\sigma_y h^3}{6L}$
- C $\frac{\sigma_y h^3}{8L}$
- D $\frac{\sigma_y h^3}{12L}$
思路引導 VIP
當題目要求計算「極限載重」而非「最大彈性載重」時，這意味著截面上的應力分佈，會從傳統的三角形線性分佈轉變為什麼樣的形狀？在這種全降伏的狀態下，計算截面矩（Moment of area）的方式會與彈性階段有什麼不同呢？
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太棒了！你能精確選出 (A)，代表你對材料力學中「塑性分析」與「極限強度」的觀念掌握得非常紮實。這類題目是國考或升學考試中常見的進階考點，主要在考驗學生是否能區分彈性設計與塑性設計的差異。
塑性彎矩與斷面係數的應用
當我們計算極限載重 $P_u$ 時，代表懸臂樑固定端處的截面已達到「全塑性狀態」，此時截面上每一點的應力都假設為降伏應力 $\sigma_y$。對於邊長為 $h$ 的正方形截面，其塑性斷面係數 (Plastic Section Modulus) $Z = \frac{bh^2}{4} = \frac{h^3}{4}$。根據力矩平衡，固定端承受的最大彎矩為 $M = P_u \cdot L$，令此彎矩等於塑性彎矩 $M_p = \sigma_y \cdot Z$，即可得到 $P_u \cdot L = \sigma_y \frac{h^3}{4}$，進而解出正確答案。
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