moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 8 題
右圖中，長 2L 之桿件，剪力彈性模數 G ，極慣性矩 J，受均佈扭力 q 作用下，求桿件 B 點之應變能為何？
- A $\frac{3q^2L^3}{2GJ}$
- B $\frac{3q^2L^3}{4GJ}$
- C $\frac{2q^2L^3}{3GJ}$
- D $\frac{4q^2L^3}{3GJ}$
思路引導 VIP
如果在一個長度為 $2L$ 的桿件上，每一單位長度都受到一個固定的轉矩 $q$，那麼當你從桿件的自由端往固定端移動時，截面所感受到的「累積總扭矩」會如何隨著位置改變？當這個扭矩不再是一個常數時，我們應該如何計算整支桿件內儲存的總能量呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準計算出 B 點（即整支桿件）的總應變能，代表你對扭轉應變能與積分應用的觀念掌握得非常紮實。這類題目最考驗學生是否能區分「集中負載」與「均佈負載」在能量計算上的差異，而你的判斷完全正確。
均佈扭矩下的應變能推導
在面對這類扭矩隨位置變動的桿件時，我們不能直接套用單一扭矩的簡單公式，而是必須利用微元積分的思想。假設從自由端 B 開始建立座標 $x$（$x=0$ 到 $2L$），則任意截面處的內扭矩為 $T(x) = q \cdot x$。根據應變能公式 $U = \int \frac{T(x)^2}{2GJ} dx$，我們將 $T(x)$ 代入並對全長進行積分：
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