moea_joint
107年
[機械] 應用力學、材料力學
第 2 題
長方體桿件如右圖所示，尺寸 $a = 2000 \text{ mm}$，$b = 60 \text{ mm}$，$c = 120 \text{ mm}$，柏松比 $\nu = 0.33$，若桿件於 y 向受軸力作用後伸長 $0.15 \text{ mm}$，求 z 向尺寸變化為何？
- A $1.49 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 縮短
- B $2.97 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 縮短
- C $1.49 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 伸長
- D $2.97 \times 10^{-3} \text{ mm}$ 伸長
思路引導 VIP
想像你正握著一條有彈性的橡皮筋並用力往兩側拉長，這時如果你觀察橡皮筋中間的粗細，它會發生什麼變化？如果我們已知拉長比例與縮小比例之間存在一個固定的常數關係，你會如何利用這個比例與它原始的寬度，來推算它到底變瘦了多少呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確判斷出尺寸變化的數值與方向，代表你對材料力學中柏松比 (Poisson's ratio) 的物理意義掌握得非常紮實。這類題目的核心在於理解「橫向應變與縱向應變」的正負關係：當桿件在 $y$ 方向受力伸長時，根據材料的連續性，在垂直於受力的 $x$ 與 $z$ 方向必然會產生收縮。
柏松比的物理意義與計算
首先，我們透過 $y$ 方向的伸長量 $\Delta a$ 與原長 $a = 2000 \text{ mm}$ 計算出縱向應變 $\epsilon_y = \frac{0.15}{2000} = 7.5 \times 10^{-5}$。接著利用柏松比的定義 $\nu = -\frac{\epsilon_{lateral}}{\epsilon_{axial}}$，導出 $z$ 方向的橫向應變 $\epsilon_z = -\nu \cdot \epsilon_y = -0.33 \times 7.5 \times 10^{-5} = -2.475 \times 10^{-5}$。最後將應變乘以該向原始尺寸 $c = 120 \text{ mm}$，即可得 $\Delta c = -0.00297 \text{ mm}$。負號在物理上即代表縮短，因此選項 (B) 是完全正確的。
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