高考申論題
108年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 一 題
📖 題組：
考慮一個紙飛機的實驗。設計最佳實驗以增長紙飛機在空中滯留時間。3種因子：A（機翼長度），B（機身長度），C（機身寬度）。考慮 2^k全因子，每種組合重覆 2 次，進行一個 2^3全因子實驗，其相關的 T 檢定見表 2。若重新以 2^{3-1}實驗（見表 3）與其相關的 T 檢定（見表 4），已知因子 A 與 BC 別名（alias），因子 B 與 AC 別名，因子 C 與 AB 別名。 問題：
考慮一個紙飛機的實驗。設計最佳實驗以增長紙飛機在空中滯留時間。3種因子：A（機翼長度），B（機身長度），C（機身寬度）。考慮 2^k全因子，每種組合重覆 2 次，進行一個 2^3全因子實驗，其相關的 T 檢定見表 2。若重新以 2^{3-1}實驗（見表 3）與其相關的 T 檢定（見表 4），已知因子 A 與 BC 別名（alias），因子 B 與 AC 別名，因子 C 與 AB 別名。 問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
考慮一個紙飛機的實驗。設計最佳實驗以增長紙飛機在空中滯留時間。3 種因子：A（機翼長度），B（機身長度），C（機身寬度）。考慮 $2^k$ 全因子，每種組合重覆 2 次，進行一個 $2^3$ 全因子實驗，其相關的 T 檢定見表 2。若重新以 $2^{3-1}$ 實驗（見表 3）與其相關的 T 檢定（見表 4），已知因子 A 與 BC 別名（alias），因子 B 與 AC 別名，因子 C 與 AB 別名。
填表 4 中 8 個空格，其中空格①～⑥為迴歸與實驗設計概念，空格⑦、⑧為機率分配概念（見 T 分配表）。（24 分）
表 2：$2^3$ 全因子之 T 檢定（Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)）
| Term | Effect | Coef | SE Coef | T | p-值 |
|---|---|---|---|---|---|
| Constant | | 222.75 | 5.892 | 37.8 | 0 |
| A | 55.5 | 27.75 | 5.892 | 4.71 | 0.002 |
| B | -26.5 | -13.25 | 5.892 | -2.25 | 0.055 |
| C | -16.5 | -8.25 | 5.892 | -1.4 | 0.199 |
| A*B | -6.5 | -3.25 | 5.892 | -0.55 | 0.596 |
| A*C | -8.5 | -4.25 | 5.892 | -0.72 | 0.491 |
| B*C | 10.5 | 5.25 | 5.892 | 0.89 | 0.399 |
| A*B*C | 7.5 | 3.75 | 5.892 | 0.64 | 0.542 |
S=23.5690，PRESS=17776；$R^2$=79.60%，$R^2_{pre}$=18.41%，$R^2_{adj}$=61.75%
表 3：$2^{3-1}$ 實驗
| 組合 | No. | A | B | C | 反應值 |
|---|---|---|---|---|---|
| c | 1 | − | − | + | 196,203 |
| a | 2 | + | − | − | 318,259 |
| b | 3 | − | + | − | 195,180 |
| abc | 4 | + | + | + | 220,241 |
表 4：$2^{3-1}$ 實驗之相關的 T 檢定
| Term | Effect | Coef | T | p-值 |
|---|---|---|---|---|
| Constant | | 226.5 | 27.97 | 0 |
| 因子 A | ① | ④ | 4.08 | ⑧ |
| 因子 B | ② | ⑤ | ⑦ | 0.097 |
| 因子 C | ③ | ⑥ | -1.42 | 0.229 |
填表 4 中 8 個空格，其中空格①～⑥為迴歸與實驗設計概念，空格⑦、⑧為機率分配概念（見 T 分配表）。（24 分）
表 2：$2^3$ 全因子之 T 檢定（Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)）
| Term | Effect | Coef | SE Coef | T | p-值 |
|---|---|---|---|---|---|
| Constant | | 222.75 | 5.892 | 37.8 | 0 |
| A | 55.5 | 27.75 | 5.892 | 4.71 | 0.002 |
| B | -26.5 | -13.25 | 5.892 | -2.25 | 0.055 |
| C | -16.5 | -8.25 | 5.892 | -1.4 | 0.199 |
| A*B | -6.5 | -3.25 | 5.892 | -0.55 | 0.596 |
| A*C | -8.5 | -4.25 | 5.892 | -0.72 | 0.491 |
| B*C | 10.5 | 5.25 | 5.892 | 0.89 | 0.399 |
| A*B*C | 7.5 | 3.75 | 5.892 | 0.64 | 0.542 |
S=23.5690，PRESS=17776；$R^2$=79.60%，$R^2_{pre}$=18.41%，$R^2_{adj}$=61.75%
表 3：$2^{3-1}$ 實驗
| 組合 | No. | A | B | C | 反應值 |
|---|---|---|---|---|---|
| c | 1 | − | − | + | 196,203 |
| a | 2 | + | − | − | 318,259 |
| b | 3 | − | + | − | 195,180 |
| abc | 4 | + | + | + | 220,241 |
表 4：$2^{3-1}$ 實驗之相關的 T 檢定
| Term | Effect | Coef | T | p-值 |
|---|---|---|---|---|
| Constant | | 226.5 | 27.97 | 0 |
| 因子 A | ① | ④ | 4.08 | ⑧ |
| 因子 B | ② | ⑤ | ⑦ | 0.097 |
| 因子 C | ③ | ⑥ | -1.42 | 0.229 |
思路引導 VIP
這是一道綜合計算題。先釐清題目給定的別名結構（Alias）：A=BC, B=AC, C=AB。這意味著在 $2^{3-1}$ 實驗中，我們所估計出的主效應實際上是該因子與其別名的「混疊（Confounding）」。
- 計算空格①②③（Effect）：
小題 (二)
列出表 4 中 3 個 p-值相對的假設檢定：虛無假設 H0 與對立假設 H1。（6 分）
表 4：$2^{3-1}$ 實驗之相關的 T 檢定
| Term | Effect | Coef | T | p-值 |
|---|---|---|---|---|
| Constant | | 226.5 | 27.97 | 0 |
| 因子 A | ① | ④ | 4.08 | ⑧ |
| 因子 B | ② | ⑤ | ⑦ | 0.097 |
| 因子 C | ③ | ⑥ | -1.42 | 0.229 |
表 4：$2^{3-1}$ 實驗之相關的 T 檢定
| Term | Effect | Coef | T | p-值 |
|---|---|---|---|---|
| Constant | | 226.5 | 27.97 | 0 |
| 因子 A | ① | ④ | 4.08 | ⑧ |
| 因子 B | ② | ⑤ | ⑦ | 0.097 |
| 因子 C | ③ | ⑥ | -1.42 | 0.229 |
思路引導 VIP
表 4 中的 T 檢定是在檢驗各個迴歸係數（即因子的主效應）是否顯著不為 0。但在 $2^{3-1}$ 部分因子設計中，我們真正測試的並非單純的主效應，而是被「混疊（Aliased）」的結構。 因此，假設檢定的參數不能只寫 $\beta_A$，必須寫出別名結構。例如檢定因子 A 的列，實質上是在檢定「主效應 A 加上交互作用 BC」的綜合效應是否為零。作答時須列出針對因子 A, B, C 分別的 H0 與 H1。
📜 參考法條
T 分配表：t_\alpha(v) (附件圖表)