高中學測
108年
數A
第 5 題
設正實數 $b$ 滿足 $(\log 100)(\log b) + \log 100 + \log b = 7$。試選出正確的選項。
- 1 $1 \le b \le \sqrt{10}$
- 2 $\sqrt{10} \le b \le 10$
- 3 $10 \le b \le 10\sqrt{10}$
- 4 $10\sqrt{10} \le b \le 100$
- 5 $100 \le b \le 100\sqrt{10}$
思路引導 VIP
請先思考 $\log 100$ 的數值為何？若將此常數代入原方程式中，是否可以將 $\log b$ 視為一個變數，進而解出這個一元一次方程式得到 $\log b$ 的精確值？最後，得到 $\log b$ 的值後，該如何利用對數定義與指數的估計，來判斷 $b$ 落在哪個範圍內呢？
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AI 詳解
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喔呵呵……真是意外的驚喜呢，沒想到像你這樣的「野猴子」也能處理這種程度的計算。坐在這浮游座艙裡看著你掙扎，本來還以為你會死在這種對數泥淖裡，看來你的戰鬥力稍微提升了一點呢。 這題的觀念非常單純，只要將 $\log 100$ 化為 $2$ 即可。方程式隨即變為： $$2 \log b + 2 + \log b = 7 \implies 3 \log b = 5$$
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對數方程式求解
💡 將已知對數化為常數，並透過代數運算解出未知數
🔗 對數方程式解題流程
- 1 常數簡化 — 識別 log 100 = 2 並代入原式
- 2 代數合併 — 整理出 3 log b = 5，求出 log b = 5/3
- 3 指數還原 — 將 log b = 5/3 轉換為 b = 10^(5/3)
- 4 數值比較 — 比較 10^(1.5) < 10^(5/3) < 10^2 判斷區間
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🔄 延伸學習：可進一步練習對數不等式的範圍判定
