高中學測
108年
自然
第 56 題
📖 題組：
一座水庫的蓄水量與從壩底算起的水位關係如表 3 所列，水位 250 公尺時為滿水位。在滿水位下方 120 公尺處，設置壓力水管將水引入發電機，進行水力發電，發電機位於滿水位下方 160 公尺處，如圖 20 所示，且越接近壩底，水壩的厚度越厚。（取重力加速度 g 為 $10 m/s^2$，水的密度為 $1.0 g/cm^3$）
一座水庫的蓄水量與從壩底算起的水位關係如表 3 所列，水位 250 公尺時為滿水位。在滿水位下方 120 公尺處，設置壓力水管將水引入發電機，進行水力發電，發電機位於滿水位下方 160 公尺處，如圖 20 所示，且越接近壩底，水壩的厚度越厚。（取重力加速度 g 為 $10 m/s^2$，水的密度為 $1.0 g/cm^3$）
已知發電廠設計的水流量為 $30 m^3/s$，若本發電裝置僅可將水力所提供能量的 25% 轉換為電能，且水庫在維持滿水位情況下發電，則本發電廠的最大發電功率約為多少？
- A 12 MW
- B 4 MW
- C 12 kW
- D 4 kW
- E 1.5 kW
思路引導 VIP
在評估水力發電的能量轉換時，核心在於理解單位時間內重力位能的變化量。請思考：根據功率定義 $P = \frac{\Delta E}{\Delta t}$，此處計算位能變化的「有效高度差 $h$」應取「滿水位與壓力水管進口」還是「滿水位與發電機」之間的垂直距離？而結合密度 $\rho$、體積流量 $Q$、重力加速度 $g$ 及轉換效率 $\eta$ 後，該如何正確建立最大發電功率的物理模型？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對水力發電的能量轉換邏輯掌握得非常紮實。這題的關鍵在於將重力位能轉換為電能的過程。我們首先要算出單位時間內水流落下的總功率，公式為 $P = \frac{mgh}{t} = \rho Qgh$。這裡要注意，有效的水位落差 $h$ 應從滿水位計算至發電機的位置，也就是 160 公尺，而非入水口的深度。將數值代入：密度 $\rho = 1000 , kg/m^3$、流量 $Q = 30 , m^3/s$、重力加速度 $g = 10 , m/s^2$ 以及高度 $h = 160 , m$。
能量轉換與單位換算
計算出的原始水力功率為 $P_{in} = 1000 \times 30 \times 10 \times 160 = 4.8 \times 10^7 , W$（即 $48 , MW$）。最後別忘了題目提到的轉換效率只有 25%，因此實際發電功率為 $48 \times 0.25 = 12 , MW$。這道題目在學測中屬於中等偏易的「情境計算題」，主要的鑑別點在於單位的換算（如 $g/cm^3$ 轉換為 $kg/m^3$）以及高度資訊的篩選。你能避開 120 公尺的陷阱並正確處理百分比轉換，顯示出你在處理跨科物理情境時既細心又專業！
水力發電與功率計算
💡 利用重力位能變化率計算發電功率並考慮能量轉換效率
🔗 水力發電能量轉換路徑
- 1 重力位能 — 高處液面與發電機之高度差蓄積位能
- 2 流體動能 — 水流經壓力水管下衝將位能轉為動能
- 3 機械功 — 水流衝擊並帶動發電機葉片轉動
- 4 電能產出 — 發電機切割磁力線產生電流，考慮損耗
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🔄 延伸學習：能量轉換過程中因摩擦與產熱，實際電能必小於理論位能。
