調查局三等申論題
108年
[電子科學組] 工程數學
第 四 題
四、證明 $f(t) = e^{-2t^2}$ 之傅立葉轉換為 $F(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-\omega^2/8}$。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到高斯函數的傅立葉轉換，首要聯想是利用定義式將指數合併，並透過「配方法」構造出標準的高斯積分形式。另外，也可利用傅立葉轉換的微積分性質（如時域乘 t 對應頻域微分）建立一階常微分方程式來求解，這兩種皆為國考工程數學強調計算過程與嚴密邏輯的高分推導策略。
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【解題思路】運用傅立葉轉換之積分定義，將指數函數內部進行配方法（Completing the square），並利用標準高斯積分（Gaussian Integral）公式進行推導。 【詳解】 已知：由題意欲證結果反推，本題採用之傅立葉轉換定義式為 $F(\omega) = \mathcal{F}{f(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$。給定函數為 $f(t) = e^{-2t^2}$。
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